نظرية فيثاغورث ومعكوس نظرية فيثاغورث للثالث المتوسط ( المنهج الخليجي )

سنتعرف في هذا المقال من مقالات دروس الرياضيات على نظرية فيثاغورث ومعكوسها وسنتعلم كيفية تطبيقهما، ومتى نستخدمهما مع الكثير من الأمثلة التطبيقية.

ماهو المثلث القائم:

المثلث القائم هو مضلع له ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا ، إحدى زواياه قائمة أي أن قياسها  يساوي 90 درجة

يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة وتراً ، ويسمى كل من الضلعين الآخرين ساقاً أو الضلعين القائمين ( لأنهما تجاوران الزاوية القائمة )

كما في الشكل الآتي:

 

 

 

 

 

من الشكل نلاحظ أن:

الزاوية القائمة: هي الزاوية ج

الوتر: هو الضلع المقابلة للزاوية القائمة وهو الضلع ( أ ب ) أو نسميه اختصاراً: جَ

الساقين: أو الأضلاع القائمة هما الضلعان: ( ب ج ) و ( أ ج ) أو نسميهما اختصاراً: أَ ، بَ

 

نظرية فيثاغورث:

التعبير اللفظي: إذا كان المثلث قائم الزاوية فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ساقيه ( ضلعيه القائمين )

الرموز: بالنظر إلى الشكل السابق

 

 

متى نستخدم مبرهنة فيثاغورث:

نستخدم مبرهنة فيثاغورث عندما يكون لدينا مثلثاً قائماً ، معلوم به طولي ضلعين ، والمطلوب إيجاد طول الضلع الثالثة

 

كيفية إيجاد طول ضلع في مثلث قائم باستخدام مبرهنة فيثاغورث:

مثال1:

أوجد طول الضلع المجهول في كل مما يأتي، وقرّب الحل إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم الأمر:

 

 

 

 

الحل: نلاحظ هنا أن المثلث قائم ، فيه ضلعين معلومين وضلع مجهول وهو الضلع جَ ، لذا يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورث

نكتب نصها: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين

نحدد الوتر ونحدد الساقين حتى نستطيع تطبيق النظرية

ثمّ نعوّض بالأضلاع فنجد:

 

 

ثمّ نربع الأعداد فينتج:

 

 

 

 

 

ثمّ نجذر الطرفين فنصل إلى النتيجة المطلوبة وهي طول الضلع جَ

 

جَ = +26

لم نأخذ الجذر السالب لأن المطلوب هو طول ضلع وطول الضلع لايمكن أن يكون سالباً

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل:

أ) نحل بنفس طريقة المثال السابق : أي حسب نظرية فيثاغورث

نكتب نص النظرية: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين

نحدد الوتر ونحدد الساقين حتى نستطيع تطبيق النظرية

الوتر هو الضلع المقابلة للزاوية القائمة وهو الضلع: جَ ، والساقين هما الضلعين الباقيين

نطبق النظرية فنجد:

 

 

نربع الطرفين ونصلّح العلاقة فينتج:

 

 

 

 

ثمّ نجذر الطرفين فينتج طول جَ المطلوب

جَ = 10

 

حل المثال ب :

هنا أيضاً نستطيع تطبيق نظرية فيثاغورث لأن المثلث قائم معلوم فيه طولي ضلعين وفيه طول ضلع مجهول

لذا نطبّق نظرية فيثاغورث

نكتب نصها: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين

نحدد الوتر ونحدد الساقين حتى نستطيع تطبيق النظرية

الوتر هنا معلوم وهو الطول 16 ، الساقين هما الطول 12 ، والساق الأخرى مجهولة وهي أَ

نطبّق النظرية فنجد:

 

 

نصلح العلاقة بتربيع الأعداد فتصبح:

 

 

ننقل المعاليم إلى طرف والمجاهيل إلى طرف مع تغيير إشارة الحد المنقول فيصبح الناتج:

 

 

 

 

 

 

 

ثمّ نجذر الطرفين فينتج: أَ يساوي تقريباً 10.6

معكوس نظرية فيثاغورث:

متى نستخدمها: نستخدمها عندما يكون لدينا مثلثاً جميع أضلاعه معلومة ، والمطلوب إثبات أن المثلث هو مثلث قائم

بصيغة الرموز:

إن كانت أَ ، جَ ، بَ ثلاث أضلاع لمثلث تحقق المعادلة:

 

 

فإنّ المثلث قائم الزاوية ، وإن لم تتحقق المعادلة فيكون المثلث ليس قائم الزاوية.

 

مثال:

حدد إن كانت الأطوال: ” 9 ، 12 ، 16 ” يمكن أن تشكّل أضلاع مثلث قائم الزاوية أم لا .

الحل:

نحدد طول الضلع الأكبر بين هذه الأضلاع فيكون هو الضلع جَ ويكون الضلعين الآخرين هما الضلعين أَ ، بَ

أي أن جَ = 16 ، أَ = 12 ، بَ = 9

ثمّ نتحقق من صحة المعادلة التي ذكرناها آنفاً :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل:

أ) بنفس الطريقة نتأكد من صحة المعادلة:

 

 

نحدد أولاً الضلع الكبير بين هذه الأضلاع فنلاحظ أنه العدد 40 أي أن جَ = 50، ويكون الضلعين الباقيين هما :

أَ = 30 ، بَ = 40

ثمّ نطبق المعادلة فينتج:

 

 

ثمّ نربع الأعداد فنحصل على المعادلة:

       2500 = 1600 + 900

   2500 = 2500

نلاحظ أن المعادلة محققة أي أن المعادلة:

 

 

صحيحة ، وبالتالي فإنّ أطوال هذه الأضلاع تشكّل مثلثاً قائم الزاوية.

 

ب) علينا هنا أيضاً أن نتأكد من صحة المعادلة:

 

 

نحدد أولاً الضلع الكبير بين هذه الأضلاع فنلاحظ أنه العدد 18 هو أطول الأضلاع أي أنّ جَ = 18 ، ويكون الضلعين الباقيين هما أَ ، بَ أي أن:

أَ = 6 و بَ = 12

ثمّ نطبق المعادلة فينتج:

 

 

نربع الأعداد:

       324 = 144 + 36

324 = 180

نلاحظ أن المعادلة غير محققة أي ( ليست صحيحة ) وبالتالي فإنّ أطوال هذه الأضلاع لاتشكل مثلثاً قائم الزاوية.